Одной из основных проблем топологии, имеющей значительные приложения к другим областям математики, является изучение многообразий с определенными свойствами и специальных отображений между ними. В тоже время, в математике нет единого понятия многообразия: дифференциальная геометрия изучает римановы многообразия, алгебраическая геометрия — алгебраические многообразия и т.д. Из-за этого топологии тоже приходится иметь дело с различными многообразиями, которые исторически сгруппировались в три больших класса — топологические, кусочно-линейные (комбинаторные) и гладкие многообразия. Также, в различных задачах их разумно рассматривать с точностью до различных отношений эквивалентности — гомотопической эквивалентности, гомеоморфизма, кусочно-линейного гомеоморфизма и диффеоморфизма. С давних пор людей интересовало как эти различные классы многообразий и различные типы эквивалентностей взаимодействуют друг с другом. Например, одна из самых известных и старых гипотез топологии — гипотеза Пуанкаре — утверждает, что 3-х мерное топологическое многообразие, гомотопически эквивалентное 3-х мерной сфере, будет ей и гомеоморфно (доказана Г. Перельманом). В докладе будет обзорно рассказано о важнейших результатах, полученных в данном направлении.

Структурно устойчивый поток на замкнутом многообразии называется полярным, если его неблуждающее множество исчерпывается одним стоком, одним источником и конечным числом седловых неподвижных точек. В докладе будет приведено решение задачи топологической классификации и задачи реализации в классе полярных потоков на замкнутых четырехмерных многообразиях при дополнительном условии, что все седловые неподвижные точки имеют двумерные инвариантные многообразия. Необходимым и достаточным условием топологической эквивалентности двух таких потоков является эквивалентность с точностью до гомеоморфизма их диаграмм Кирби -- ориентированных оснащенных зацеплений, образованных следами двумерных неустойчивых многообразий на трехмерной сфере, секущей к траекториям потока. Выделен содержательный класс оснащенных зацеплений на трехмерной сфере, называемых допустимыми. По любому допустимому оснащенному зацеплению приведено построение векторного поля на четырехмерном многообразии, индуцирующего полярный поток, для которого данное зацепление является диаграммой Кирби.

Уравнение Кортевега – де Фриза (КдФ) впервые появилось для описания волн на воде, а сейчас является классической моделью нелинейной физики. В обобщенном уравнении КдФ нелинейность является произвольной, что позволяет применять его для описания более широкого класса задач, но вместе с тем пропадает интегрируемость этого уравнения. В докладе будет представлена классификация форм важного подкласса решений обобщенного КдФ – уединенных волн, которые часто являются устойчивыми структурами. Также мы рассмотрим бифуркации формы уединенной волны при изменении скорости ее распространения, и то, как эта форма влияет на устойчивость решения.

В докладе представлена математическая модель и вычислительный алгоритм для нестационарного процесса в слое катализатора с учетом формы зерна. В основу явно-неявного вычислительного алгоритма положен принцип расщепления по физическим процессам. Алгоритм исследован на сходимость и устойчивость. Он протестирован на задачах с известным аналитическим решением. Адекватность математической модели проверена сравнением с экспериментальными данными. С использованием разработанных модели и алгоритма проиллюстрирована экспериментального наблюдаемая эффективность динамического режима нестационарного процесса.  

Будут рассмотрены постановки различных задач оптимального управления, в которых проекции оптимальных решений на плоскость описываются эластиками Эйлера. Впервые это семейство кривых было обнаружено Л.Эйлером в задаче о стационарных положениях плоского упругого стержня. Эластики Эйлера связаны с уравнением математического маятника --- каждая траектория маятника описывает некоторую эластику, при этом эластики Эйлера как траектории маятника параметризуются эллиптическими функциями Якоби. Кроме того, эластики Эйлера возникают во многих задачах оптимального управления, описывающих движение колесных роботов, а также в ряде субримановых (в том числе нильпотентных) задач. В каждой из такой задач условия оптимальности эластик Эйлера, как правило, отличаются. Более того, для некоторых задач эти условия на данный момент остаются неизвестными, а их описание остаётся открытой сложной задачей.

Доклад посвящен исследованию модельной неголономной управляемой системы на группе SO(3) вращений трехмерного пространства. По двум заданным состояниям SO(3) требуется найти траекторию, переводящую систему из одного состояния в другое за минимальное время. Два управляющих параметра задают скорости вращения вокруг двух базисных векторов подвижного репера, определяемого текущем состоянием. Рассматриваются различные ограничения на значения допустимых управлений. Случай, когда множеством допустимых управлений является единичный круг, соответствует левоинвориантной субримановой задаче. Обобщение на случай, когда радиус круга зависит от текущего состояния, ответствует конформной субримановой метрике. Конформный множитель называется внешней стоимостью. Также будет рассмотрен несимметричный случай, когда множеством допустимых управлений является полукруг.
Из принципа максимума Понтрягина будут выведены уравнения на экстремальные траектории. Также будет предложен численный метод вычисления оптимальных траекторий. Рассматриваемые задачи определяют модели первичной зрительной коры головного мозга, уточняющие классическую модель Петито-Читти-Сарти путем учета кривизны сетчатки глаза. Также задачи востребованы для алгоритмов поиска выделяющихся линий на сферических изображениях.

Лоренцева структура на многообразии размерности n+1 задается невырожденной билинейной формой сигнатуры (1,n). С помощью этой формы можно определить длину допустимой кривой. В отличие от римановой геометрии имеет смысл искать не кратчайшие, а длиннейшие кривые соединяющие данные точки. Вообще говоря, существование длиннейшей кривой между данными точками не гарантированно. Будут определены основные понятия, предложено достаточное условие существования длиннейших и рассмотрены примеры.

Рассматривается задача оптимального управления сближением космического аппарата с межзвёздным объектом, находящимся на гиперболической гелиоцентрической орбите. Концепция миссии использует давление солнечного излучения и гравитационный манёвр вокруг Солнца для получения дополнительного ускорения. Вводится сеть гелиостатических спутников, обеспечивающая оперативный отклик после обнаружения межзвёздного объекта, пересекающего плоскость эклиптики. Исследуются две возможные схемы миссии сближения. В первой схеме управление движением осуществляется исключительно с помощью двигателей малой тяги, во второй — двигатели работают совместно с солнечным парусом. Управляя угловым положением паруса, космический аппарат достигает требуемых компонент гелиоцентрической скорости для выхода на траекторию сближения с объектом. Задача оптимального управления сближением решается для определения ориентации паруса и управляющих усилий двигателей, минимизирующих энергозатраты, с применением метода внутренней точки и принципа максимума Понтрягина. Оптимальные углы паруса, минимизирующие расход топлива двигателей, получены на основе теоремы точечного проектирования.

Класс положительно определённых функций естественно возникает в различных областях математики. Из областей применения, прежде всего стоит отметить гармонический анализ и теорию вероятностей. Доклад посвящён менее известной теме, а именно, экстремальным задачам, связанными со специальными классами положительно определённых функций. В докладе также будут представлены недавние результаты автора, связанные с экстремальной задачей Зигеля. 

Решение задачи N тел называется сингулярным, если оно не продолжается на всю действительную ось времени. Сингулярное решение, имеющее конечный предел в конфигурационном пространстве, называется столкновением. П. Пенлеве в “Лекциях по аналитической теории дифференциальных уравнениях” (1897 г.) доказал, что все сингулярные решения задачи трёх тел суть столкновения, но не смог обобщить этот результат на систему четырёх и более тел. Он предположил существование таких сингулярных решений задачи N ≥ 4 тел, что положение по крайней мере одного тела не имеет конечного предела (псевдостолкновения или сингулярности Пенлеве в докладе). Фон Цайпель показал в 1908 г., что в случае псевдостолкновения по крайней мере одно из тел должно улетать на бесконечность за конечное время. В 1975 г. J. Mather, R. McGehee построили сингулярное решение Пенлеве коллинеарной задачи четырёх тел, допустив предшествующее ему счётное число регуляризованных двойных столкновений. Существование сингулярностей Пенлеве для N = 5 доказал J. Xia в 1988 г. В статье 2020 г. J. Xue доказал существование сингулярностей Пенлеве с канторовым множеством начальных условий для N = 4. В препринте 2022 г. J. Gerver, G. Huang, J. Xue предложили ещё один метод построения сингулярных решений Пенлеве в плоской задаче четырёх тел. В докладе будет рассмотрен возможный механизм формирования сингулярностей Пенлеве в пространственной задаче четырёх тел.